李晓煦：没有对比就没有统计（上）
李晓煦 开智学堂
开智君说
任何严谨的心理学研究背后，都基于统计学的扎实推演和不断质证。但统计学教材往往晦涩难懂，如何更好地入门统计学呢？开智曾邀请《三生有幸》作者、曾师从国际心理统计学泰斗侯杰泰老先生的李晓煦老师，为大家奉上一堂统计学入门公开课。他通过五个案例，让大家明白，统计最重要的东西，是选好那个恰当的对比标准。一休整理了公开课文字稿，与你分享。稿件较长，分上下篇发出，本文是上篇。
作者：李晓熙 来源：原创 正文共 5829 字，预计阅读时间 15 分钟
大家好，今天要讲一组比较著名的统计例子，这组数据中，除了一个是虚拟的数据，其它都是真实数据。
1、泰坦尼克号上的死亡和生存，有哪些因素可以预测、怎么对比；
2、加州伯克利分校研究生院的一次女权主义事件；
3、新冠确诊「八零后」（这里面的「八零后」是指年龄大于等于 80 岁的长者）；
4、相关系数。这个例子是说，如果父代的高度（这个父代不一定要是动物，也可以是植物）比较高的话——比他们所在的种群平均值会高一个标准差，那么他们的孩子平均高度会是多高呢？通常算出来的结果，应该是高 0.7 个标准差。这样一个反直觉的例子，在现代统计学开创史的大背景下，有哪些参与的学者？
5、以色列的空军飞行教练训练学员，如果学员飞行成绩超出预期，就表扬他；如果低于预期，就批评他。简化的情形，如果预期就是所有学员平均水平，那就变成高于所有飞行学员的平均水平时获得表扬，如果低于所有飞行学员的平均水平时获得批评。从心理学角度看，学员被批评后能够将不好的地方改正，表扬以后原来飞得好的地方会飞得更好，但观察到的结果与表扬的预期效果相反。
01 泰坦尼克：死与生
上图是泰坦尼克号的几个重要变量。性别，左边是男性，右边是女性，只包括成年人的数据，没有小朋友的。红色面积代表死去的人，绿色面积代表幸存的人。
左、右，红、绿之外，从上到下是他们的舱等，有头等舱、二等舱、三等舱，最后一类舱等是船上的工作人员。右边女性成年人也有四个仓等，这些都是真实的数据。
如果是你，预期自己会坐在哪个舱等？头等舱、二等舱还是三等舱？当时的中产阶级，多是坐二等舱。如果你是一个男性中产阶级，可能发现自己处在最不利的类型里面了，对不对？电影的男主角在哪里？在三等舱，是死去的那些人。电影的女主角是头等舱幸存的女士。
上图这种表现形式特别好的地方是，把人数和比例都完整地表现出来了。但在统计课上，一般不会教画这种图，可能会教画平均数。
什么是平均数？比如，我们把上图每个人都标记为是 0 和 1，0 代表死亡，1 代表幸存。那么每个类型里面幸存的百分比，就是 0 和 1 这些数字的平均数。
下图是新的表现形式，有头等舱、二等舱、三等舱，工作人员他们的幸存百分比，也就是他们这些 0 和 1 数字的平均数（右图顺时针旋转 90 度，再左右镜像，绿方块高度百分比与左图一致）。可以看到男性的最低点是在二等仓，女性的最低点是在三等仓。
我们学统计，最难懂的一个概念是什么？交互作用。很多同行即使学了统计学，知道交互作用怎么算它的显著性，但交互作用具体多大他也说不出个所以然。
我们说显著性的时候，不是说它大，而是在说它的标准误小。它这个数字多大，是一个描述统计的概念。但它有多么显著，是在说它在推断统计上有多精密，这个统计上的精密程度叫标准误。
交互作用的大小是什么呢？就是两个数相减。比如，泰坦尼克号例子中，男性二等舱和三等舱生存率的差距，跟女性二等仓和三等仓的生存差距差，再作一次减法，也就是「差之差」。
如果你对这个差不太了解，可以把三等舱理解成是控制组或者安慰剂组，二等仓理解成是吃药，那么，吃药的效果比吃安慰剂好多少、改善了多少呢？这就是一次减法，这样的减法，叫做「实验效应」。
如果男生跟女生实验效应不一样，我们会问，这两个性别的实验效应差距有多大？也就是实验组控制组减完以后再两性减一遍，把上图左边蓝线平移上去靠近红线，让两性的控制组对齐，然后看实验组开口有多大。这样一个普通的减法，把减完以后的两个数再互减，就叫做交互作用。
性别改变了多少实验效果？上图右边，性别画在横轴，四个舱等画在图例，挑了里面的二等舱和三等舱。实际上左边和右边的信息是一样的，可以看到横的高度都能够对应过来，只是它的标签，一个画在横轴，一个是画在图例。
经常看到的交互作用图示就是这样子，如右边两条线的交叉，但实际上讲的交互作用，是说这两条线的斜率相减，跟它交不交叉没有关系。
左右两幅图讲的是同样一件事情，但左边的图并没有交叉，右边图有交叉，它们斜率的相减是一样的。
从死亡率的折线图可以看到，性别改变了什么？性别把男性的负数改成了女性的正数。女性的正数比较大，男性的负数比较小，与对应的三等舱相比，男性二等舱是更糟糕的，女性二等舱是更好的。
现在，你可能对这个图熟悉一点点了，就能够更方便地去看下一个例子——伯克利研究生院的一次女权主义投诉。
02 伯克利研究生院：女与男
这是真事，1975 年有论文发表。伯克利研究生院被学生投诉，为什么女生平均录取率要比男生低得很多？于是就有一个调查。
结果是，几乎每个系女生录取率都高于或者等于男生。不是每个系都高，有两个系的女生录取率稍微低一点点，但低的程度很不明显，而女生录取率高的系，就高得很明显了。
下图是具体的数据，可以看出，第一个院系的女生录取率是 82.4%，男生是 62.0%，这个相差很大吧，后面所有院系的差距都没有这个院系的大。而且这六个院系里，有四个院系的女生录取率都比男生高。
图中下半部分是所有院系合并算出来的（左右男女×上下录拒）图示。在这个图中，为什么男生总的录取率就比女生高了很多呢？用一个特别简化的例子，一讲就明白。
这个例子如果理解了，那更多院系的例子，也很容易理解。但它太简化了，以至于好像特别好明白。在这个极端简化的例子里面，只有两个院系，一个工学院，一个商学院。
工学院女生录取率是 50% ，比男生占百高出 10%，男生录取率只有 40%；商学院女生录取率是 25%，男生录取率是 15%。
如果女生看到这个数据，是不可能去投诉研究生院的，除非她觉得男朋友被欺负了。那为什么在伯克利的真实案例，女生的录取率变得很低，男生的变得很高？
对整个研究生院来说，道理很简单，因为合并两个学院算全校平均的时候，不是算简单的平均，而是用数据加权的。
如果女生都报考了商学院，那商学院女生就是全校女生平均，图示如下图灰线左值；男生都报考了工学院，工学院男生也就是全校男生平均，图示如下图蓝线右值。谁高谁低，最极端的这种情况，一说就明白。
假如女生有 80% 在商学院，20% 在工学院，那加权的平均数会跑到上图绿线位置，这个比例怎么看呢？
上图灰线和绿线、蓝线和绿线左端顶点间形成两段差距，这两段差距就是距离平均数的「离均差」。蓝线左端和绿线左端的差距是灰线左端和绿线左端差距 4 倍的时候，就有 4 倍于上面（工学院）的女生在下面（商学院）。
现在看到的结果是，整个研究生院女生的录取率比男生的录取率明显低很多。至于有多明显，这可能是学过统计的人会去深究的事情，我们就不用深究它到底有多明显、怎么叫做明显了，只需看看平均数，明白这个事情是怎么回事就行。
这是第二个例子，这个例子有比较多的东西可以展开讲。
一个比较直接的结论，在预测一个个体录取率的时候，不应该用整个研究生院的录取率，或者其性别的整个研究生院的录取率来预测。如果知道这个人报了什么院系，我们就应该用那个院系内部其性别录取率来预测。
再往下说一点，如果你都面试过这个学生了，还需要这样预测他吗？不对的，你应该用他的真正表现，而不是一个更大群体的平均数来预测他。也就是用他各种特性能够对得上的平均数来预测他。这是我们一般说的预测原理。
这造成生活里一个什么明显现象呢？歧视。什么叫歧视？就是我用你不能够改变的一些变量，去预测你带有道德含义的一些东西，比如说预测你的品行。如果所给变量背后群体的平均数品行是比较低的，这个预测就自然而然发生歧视了。
这里面的重要变量是什么？我看到你的时候，第一眼能够认出的变量，经常就是族群。为什么你会被归类到这个族群那个族群？就是因为它构成一个特别容易识别的变量。所以，一个族群的平均数就很容易被用来预测陌生人，这就是歧视背后的一个基本原理。
03 新冠确诊「八零后」：命与寿
这个例子也是真实的，数据来自知乎作者 @Chenqin。上图有三组数据对比，统计了四个年龄段的人群，最后一个年龄段，就是标题里的「八零后」。
三组数据类别是什么呢？蓝色柱状图是意大利伦巴底大区新冠确诊后的死亡率，橙色柱状图是武汉后期的情况，灰色柱状图是武汉前期的情况。
为什么要了解武汉前期的情况？就是因为伦巴底大区病情现在发展程度，是不能跟武汉病情现在的发展程度对比的，但是可以跟武汉中间的某一个时间点对比。把那个时间点的数据单独算出来可以看到，武汉的情况都是比伦巴底大区的情况要糟糕。
最后合并的情况是怎么样的呢？知乎作者 @Chenqin 在文章里说，伦巴底的死亡率几乎是武汉的两倍，这个结果很意外。在图中看到，伦巴底每个年龄段的死亡率，都比武汉当时和现在的死忙率要低。但整个确诊人群的死亡率，伦巴底就是武汉的两倍。
原因用之前的原理解释很简单，伦巴底太多老年人，伦巴底患病群体里有太大比例的 80 后，而武汉则没有那么大比例的 80 后在患病人群里。所以最后算出的总死亡率，伦巴底将近是武汉的两倍。
让我印象深刻的描述性的数据还有，意大利新冠死亡人口 99.9% 是 50 岁以上，50岁以下死亡的只有千分之一。其中 70 岁以上的死亡患者，占总死亡人数的 90%。
这种数据会让我们有一个很清晰的印象，新冠是一个老年人的高危疾病，主要危害老年人群体。来看具体的死亡率有多么高，在伦巴底， 80 后的老年人患病死亡率是 26%，武汉是 30% 多一点。也就是说，平均每四个人或者三个人中间会走掉一个，这个死亡率很惨。
再看另外一份发在《BUSINESS INSIDER》刊物上的数据，它的引用来源来自于数据来源地国家级的权威研究部门。
下图左边是流感，右边是韩国新冠数据，为什么特别关注韩国的数据？因为韩国的检测做得特别到位，几乎所有想参加检测的人，都可以比较快地获得检测。
这样做有什么好处？它的分母是很扎实的。这个图被很多自媒体转来转去，主要目的是想警告大家，新冠病毒不是大号流感，但是用这个图来讲这个命题，实际上是偷换概念。
可以注意到，韩国80 岁以上人群死亡率是 8.23%，跟前面伦巴底和武汉的数据相比，好了很多是吧，它差不多是伦巴底死亡率的 1/3。
但你看这个图，第一印象会受到一个错误的影响，认为图中左右两边的年龄段对得上，互相之间有可比性，实际上没有可比性。左边有一个是 65 岁以上的长者，但没有 80 岁以上长者的情况。
真正能够对得上、有可比性的年龄段是什么？30 岁以下。图的右边是从 30 岁开始的，30 岁以下没有死亡个案，或者说几乎没有，也就是用分母除完以后，小数点后到万分之一以后了。
实际上这份数据是说，对于 30 岁以下的群体来说，韩国新冠病毒的死亡s还不如流感那么严重。这对在座同学来说，可能是一个鼓舞人心的重要信息。
30 岁以下人群流感的死亡率是多少？看图中左边可以知道，它的数量级是在小数点后的第二位，18-49 岁的平均是 0.02%。5-17 岁，是小于 0.01%。
但我现在讲的这个事实，绝大多数人不能正确地理解。最右的 8.23% 死亡率是什么意思？当你知道左右两个图不能对比时，可能还会把右图不同年龄段拿来互相对比，认为对 80 岁以上的长者来说，新冠病毒是一个特别严重的疾病。
相对于 50 岁以下的人群来说，80 后与 50 前两者差别特别大。因为 80 岁以上长者死亡率高了很多个数量级。但这可能缺乏一个正确的对比标准。为什么？
看 80 岁以上长者的死亡率，对比标准不应该是图中的其它年龄段人群，而应该是 80 岁长者这个群体这一年的平均死亡率。很多人可能不能够正确地想象，80 岁以上的长者，他们观察到周围的同龄人是在以什么样的速度跟他们告别。
我们为了尽可能简化这个问题，就想这样一个最极端的，大家一拍脑袋就能够想明白的数据。假如这批长者全部人的寿命都是 92 岁，这批长者里每个年龄段的人数一样多，这样的话，这一批长者每年去世的比例就是 8.3%。很多人都没有这样一个对比标准。
有一种典型的假想情况。假如这一年按照统计规律会去世的一定数量长者，他们身上的基础疾病复发，本来在这一年就会去世的，现在集中在病毒传播的这几个星期。
如果感染病毒后又能够治愈的这一批 80 后长者，他们在这一年如果不感染病毒通常也不会去世，而会继续活到明年。那么，感染新冠病毒80后人群整年的死亡率，和不感染病毒的那一批 80 后长者的死亡率是一模一样的。
这是一个合理的对比的标准，大家在被数据吓到的同时，忘掉了这个基本的对比标准。
这个数据其实也在提醒大家，你要更好地珍惜和家里长者共处的时间，因为他们每一年和我们告别的几率，不是我们现在能够切身感受到的。
但你可以拿预期的年龄算一算，假如人类平均寿命是 90 岁，那么 70 岁的长者，每一年预期与世长辞的比例，你可以在头脑里面估算一个数量级。然后好好想想，要怎么珍惜和他们共处的时间，怎么更好地对待他们。
新冠病毒的死亡率，我自己算过一个数据，所有年龄段的，中国湖北省以外其它各个省市的确诊后死亡率大概是 1.4%，但也有很多资料报告，全年龄段新冠患者的死亡率，最低的是 0.4% 。
我算出来的是 1.4%，1% 是一个比较常见的说法。也就是说，周围随机看到的一个人，他如果确诊新冠病毒，就有 1% 的可能会去世，但这个数据你看了可能没有感觉。
换一个说法，假如你现在登上一辆城市轨道列车，车上有 100 个人，车子一年中会出一次车祸，车祸中会有一个人死亡，你还愿意不愿意踏上这辆列车？这不是一个很恰当的比方，但这个比方背后，就用到了刚才的一个知识盲点。
假如整个人口的年龄都是 100 岁，每个年龄段的人数也一样多。那么，这就意味着，我们周围平均每 100 个人里面，有一个人就要在今年和我们告别，成为人间过客。当然，我们都是人间过客。■
注：上篇完，下篇更精彩，敬请期待~